Exercice 3 Session normale 2020

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On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= 2sqrt(x) -2 -lnx `

1) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[1,+infty[`

c) En déduire que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x)` ( Remarquer que `2sqrt(x) -2 <= 2sqrt(x) `)

d) Montrer que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= (lnx )^3/{x^2}<= 8/{sqrt(x)}` , puis en déduire `lim_{ x to +infty} (lnx )^3/{x^2}`

2) a) Montrer que la fonction `G` définie par `G(x)= x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `g`

b) Calculer `int_1^4 g(x) dx `

1) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

on a `x->lnx ` et `x-> sqrt(x)` sont dérivableq sur `]0,+infty[`

on a `g'(x)=(2sqrt(x) -2 -lnx)' = 2xx1/{2sqrt(x)} -1/x `

`= 1/{sqrt(x)} -1/x `

`= {sqrt(x)}/x -1/x `

`={sqrt(x) -1}/x `

alors ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

1 b) Montrer que `g` est croissante sur `[1,+infty[`

on a ` forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

soit ` x in [1,+infty[`

alors ` x >= 1 ` donc ` sqrt(x) >= sqrt(1) = 1 ` et ` x > 0 `

`=> sqrt(x) - 1 >= 0 ` et ` x > 0 `

alors ` {sqrt(x) -1}/x >= 0 `

alors ` forall x in [1,+infty[ : g'(x) >= 0 `

donc la fonction `g` est croissante sur `[1,+infty[ `

c) En déduire que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x)` ( Remarquer que `2sqrt(x) -2 <= 2sqrt(x) `)

montrons que ` 0 <= lnx ` pour tout ` x >= 1 `

soit ` x >= 1 `

or la fonction ` x-> lnx ` est croissante sur `]0,+infty[`

alors ` lnx >= ln(1) = 0 `

`=> lnx >= 0 `

alors ` forall x in [1,+infty[ : lnx >= 0 `

Déduire que ` forall x in [1,+infty[ : lnx <= 2sqrt(x) `

soit ` x >= 1 `

on a `x->g(x)` est une fonction croissante sur `[1,+infty[ `

`=> g(x) >= g(1) `

or `g(1)= 2 -2 -ln(1)= 0 `

`=> g(x) >= 0 `

`=> 2sqrt(x) -2 -lnx >= 0 `

`=> 2sqrt(x) -2 >= lnx `

d'après la remarque `2sqrt(x) >= 2sqrt(x) -2 >= ln(x) `

donc `2sqrt(x) >= lnx `

alors ` forall x >= 1 : lnx <= 2sqrt(x)`

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Conclusion

` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x) `

d) Montrer que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= (lnx )^3/{x^2}<= 8/{sqrt(x)}` , puis en déduire `lim_{ x to +infty} (lnx )^3/{x^2}`

on a ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x) `

or la fonction `x->x^3` est croissante sur ` [0,+infty[ `

alors `0 <= ln^3x <= (2sqrt(x))^3 `

`=> 0 <= ln^3x <= 8 x sqrt(x) `

on a pour ` x>= 1 ` , ` x^2 >= 1 > 0 `

`=> 0 <={ ln^3x}/x^2 <= {8 x sqrt(x)}/x^2 `

`=> 0 <={ ln^3x}/x^2 <= {8 sqrt(x)}/x `

`=> 0 <={ ln^3x}/x^2 <= 8/{ sqrt(x)} `

alors ` forall x >= 1 : 0 <={ ln^3x}/x^2 <= 8/{ sqrt(x)} `

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En déduire `lim_{ x to +infty} {ln^3x}/x^2`

on a ` forall x >= 1 : 0 <={ ln^3x}/x^2 <= 8/{ sqrt(x)} `

`=> ` ` forall x >= 1 : abs({ ln^3x}/x^2 ) <= 8/{ sqrt(x)} `

on a `lim_{ x to +infty} 8/{sqrt(x)} = 0 `

alors `lim_{ x to +infty} {ln^3x}/x^2= 0 `

Remarque

On peut utiliser théorème des encadrements

2) a) Montrer que la fonction `G` définie par `G(x)= x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `g`

on a `x->lnx ` et ` x -> sqrt(x) ` et ` x-> x` sont des fonctions dérivables sur `]0,+infty[`

alors la fonction `G` est dérivable sur `]0,+infty[ ` ( somme et produit des fonctions dérivables )

on a `G'(x)=( x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)) ' `

`= -1+4/3sqrt(x) -lnx + x( 4/3xx1/{2sqrt(x)} -1/x) `

`= -1+4/3sqrt(x) -lnx + 2/3xxx/{sqrt(x)} -1 `

`= -2+4/3sqrt(x) -lnx + 2/3xx{xsqrt(x)}/x `

`= -2+4/3sqrt(x) -lnx + 2/3xxsqrt(x) `

`= -2+sqrt(x)(4/3+2/3) -lnx `

`= -2+sqrt(x)(6/3) -lnx `

`= 2sqrt(x) -2 -lnx = g(x) `

alors on a ` forall x in ]0,+infty[ : `

1) `G(x)` et dérivable

2) `G'(x)= g(x) `

alors `G` est une primitive sur `]0,+infty[ ` de `g(x) `

2 b) Calculer `int_1^4 g(x) dx `

on a `int_1^4 g(x) dx = [ G(x)]_1^4 `

`= [x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)]_1^4 `

`= 4( -1+4/3xx2 -ln(4)) -( -1+4/3 -ln1))`

`=4( -1+8/3 -2ln2 ) +1 -4/3 `

` ={20}/3 -8ln2 -1/3 `

`= {19}/3 -8ln2 `